確率

まず、確率に入る前に、試行と事象、集合論の基礎的な内容を解説する。

試行

不確からしさを伴う行為の総称。（例：１回サイコロを投げる　など）

事象

試行で起こりうる結果の集合

全事象（標本空間）: $\Omega$

試行で起こりうるすべての結果。
事象とはすなわち全事象の部分集合である。

例：1〜6までの目を１つずつ持つサイコロを一度だけ振る試行について
事象 $\{1\}, \{2\}, \{2,4,5\}....$
全事象 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

次に２つ以上の事象について、発生の仕方によって
以下のような事象が定義でできる。
なお、説明の便宜上２つの事象を考える。

積事象（and:かつ）

２つの事象AとBが「ともに」起こる事象
$A \cap B = \set{ x | x \in A かつ x \in B }$

和事象（or:または）

２つの事象AとBのうち「少なくとも一方が」起こる事象
$A \cup B = \set{ x | x \in A または x \in B }$

このトピックの最後に、集合演算について少し触れる。
なお、全事象$\Omega$の部分集合としてA, Bという２つ事象を考える。

補集合

集合Aに属さない集合
$A^{C} = \Omega / A$

差集合

集合Aに属するが集合Bには属さない元の集合
$A \backslash B = A \cap B^{C}$

対称差

集合Aか集合Bいずれか一方に属する元の集合
$A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$

空集合（$\emptyset$)

所属する元がない集合、要素を持たない集合

ここまでの内容を使って、様々な関係や性質を導き出す。

排反

$A \cap B = \emptyset$ のとき、AとBは排反である。
$A \cap B = \emptyset \rArr A \backslash B = A$
$A \cap B = \emptyset \rArr A \Delta B = A \cup B$

結合法則

$A \cup B \cup C = \left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$
$A \cap B \cap C = \left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)$

分配法則

$A \cap \left( B \cup C \right)= \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)$
$A \cup \left( B \cap C \right)= \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)$

反転

$\left( A \cup B \right)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
$\left( A \cap B \right)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$

確率とは

確からしさを数学的に記述したもの。
もう少し具体的に言うと、事象を区間$[0, 1]$の実数に写像する関数である。
例：１回サイコロを投げたとき、偶数が出る事象をAとすると $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
また、何もおこらない確率は$P(\emptyset)=0$、全事象のうちどれかが起こる確率は$P(\Omega)=1$。

確率を定義する事象の集合

$\Omega$の部分集合からなる集合を集合族といい、
確率は以下の３つの性質を有する可測集合族$\Beta$の上で定義される
(M1) $\emptyset \in \Beta , \Omega \in \Beta$
(M2) $A \in \Beta \rArr A^{C} \in \Beta$
(M3) $A_{k} \in \Beta, k = 1,2,..., \rArr \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \Beta$

可測集合族$\Beta$の元を可測集合といい、可測集合Aを実数に写像する関数$P(\cdot)$のうち
以下の３つの性質を満たすものを確率という。
(P1) すべての$A \in \Beta$に対して$P(A) \ge 0$
(P2) $P(\Omega) = 1$
(P3) $A_{k} \in \Beta, k=1,2,..,$が互いに排反であるとき、
　　すなわち、$A_{i} \cap A_{j} = \emptyset , i \not = j$の場合、$P(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}) = \sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$

命題

$A \in \Beta, B \in \Beta$とする。

1. $P(A^{C}) = 1 - P(A)$
2. $A \subset B \rArr P(A) \le P(B)$
3. $P(A \cap B) \le min \{P(A), P(B)\}$
4. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

それぞれの命題の証明は以下の通り

命題１

$AとA^{C}$は互いに排反であるから、
$A \cup A^{C} = \Omega , A \cap A^{C} = \emptyset$
ここで、(P3)より
$P(A) + P(A^{C}) = P(\Omega)$
よって、(P2)より
$P(A) + P(A^{C}) = 1 \rArr P(A^{C}) = 1 - P(A)$

命題２

$A \subset B$より、$B = A \cup (A^{C} \cap B) , A \cap (A^{C} \cap B) = \emptyset$
$A \cap (A^{C} \cap B) = \emptyset より Aと A^{C} \cap B$は互いに排反なので、(P3)より
$P(B) = P(A) + P(A^{C} \cap B) \rArr P(B) - P(A) = P(A^{C} \cap B)$
(P2)より
$P(B) - P(A) \ge 0 \rArr P(A) \le P(B)$

命題３

$(A \cap B) \subset A , (A \cap B) \subset B$より、命題２を用いて
$P(A \cap B) \le P(A), P(A \cap B) \le P(B)$　
$P(A)とP(B)以下 \rArr P(A)とP(B)のどちらか小さい方以下$なので
$P(A \cap B) \le min \{P(A), P(B)\}$

命題４

$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^{C}) , B = (B \cap A ) \cup (B \cap A^{C})$より
$P(A) + P(B) = P(A \cap B) + \{ P(A \cap B^{C}) + P(B \cap A) + P(B \cap A^{C}) \}$
$= P(A \cap B) + P(A \cup B)$
よって
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$