Blog Article

母関数・特性関数

2023年05月21日

概要

確率分布を特徴づける関数として、確率母関数、積率母関数、特性関数がある。
これらは１つの確率分布に対して１対１で対応し、
確率関数や積率（モーメント）を求める際に非常に役立つ。

確率母関数

確率母関数の定義

確率変数 $X$ の標本空間を非負の整数全体 $X = {0,1,2, \dots}$ とし
$p(k) = P(X = k)$ とする。 $|s| \le 1$ となる $s$ に対して

G_X(s) = E[s^X] = \sum_{k = 0}^{\infty}s^kp(k)

確率母関数を展開すると
$G_X(s) = p(0) + sp(1) + s^2p(2) + \cdots + s^kp(k) + \cdots$
となるので
$p(0) = G_X(0), p(1) = G'_X(0), p(2)=(1/2)G''_X(0)$
一般化すると以下のようになる。

p(k) = \frac{1}{k!}\frac{d^k}{ds^k}G_X(s)\vert_{s=0} = \frac{1}{k!}G_X^{(k)}(0)

これは、確率母関数 $G_X(s)$ は確率関数 $p(k) k=1,2,\dots$ を生成する関数であることを示している。
（母関数がGenerating Functionと言われれる所以）

また、 $G'_X(s) = E[Xs^{X-1}], G''_X(s) =E[X(X-1)s^{X-2}]$
一般化すると
$G^{(k)}_X(s) = E[X(X-1)(X-2)\cdots(X-k+1)s^{X-k}]$
よって、 $k$ 次階乗モーメントは、以下のように与えられる。

G^{(k)}_X(1) = E[X(X-1)(X-2)\cdots(X-k+1)]

積率母関数・特性関数

積率母関数の定義

任意の $h \gt 0$ が存在し、 $|t| \lt h$ となるすべての $t$ に対して
次の関数が存在するとき、 $M_X(t)$ を $X$ の積率母関数という。

M_X(t) = E[e^{tX}]

尚、積率母関数と確率母関数との関係は次式で与えられる。
$M_X(t) = G_X(e^t)$

特性関数の定義

$i^2 = -1$ を満たす虚数単位 $i$ に対して、オイラーの公式より

\varphi_X(t) = E[e^{itX}] = E[cos(tX)+isin(tX)]

積率母関数と特性関数との関係は $\varphi_X(t) = M_X(it)$
で与えられる。
積率母関数と特性関数いずれもモーメントを生成する関数であるが、
$|\varphi_X(t)| = 1 \le 1$ より特性関数は常に存在する事から、
特性関数を用いるほうが望ましいといえる。

ここで、確率変数 $X$ の原点周りの $k$ 次モーメントを求める。
積率母関数、特性関数それぞれを $t$ について $k$ 回微分する事により

E[X^k] = \frac{d^k}{dt^k}M_X(t)|_{t=0} = M_X^{(k)}(0)

E[X^k] = \frac{1}{i^k}\frac{d^k}{dt^k}\varphi_X(t)|_{t=0} = \frac{1}{i^k}\varphi_X^{(k)}(0)

ここで、尺度 $a$ と位置 $b$ を含めた確率変数 $aX+b$ に対する特性関数を求めると
$\varphi_{aX+b}(t) = E[e^{i(aX+b)t}] = e^{bit}E[e^{aitX}] = e^{bit}\varphi_{X}(at)$